Question

19．已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若$\overrightarrow{PF}$=4$\overrightarrow{FQ}$，则|QF|5．

Answer 1

分析 运用抛物线的定义，设Q到l的距离为d，求出斜率，求得直线PF的方程，与y²=8x联立可得x=3，利用|QF|=d可求．

解答 解：设Q到l的距离为d，则由抛物线的定义可得，|QF|=d，
∵$\overrightarrow{PF}$=4$\overrightarrow{FQ}$，则Q在PF的延长线上，
∴|PQ|=5d，
∴直线PF的斜率为-$\frac{\sqrt{25{d}^{2}-{d}^{2}}}{d}$=-2$\sqrt{6}$，
∵F（2，0），
∴直线PF的方程为y=-2$\sqrt{6}$（x-2），
与y²=8x联立可得x=3，（由于Q的横坐标大于2）
∴|QF|=d=3+2=5，
故答案为：5

点评 本题考查抛物线的定义和简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．