Question

12．在△ABC中，有$\sqrt{3}$acosC-csinA=0，求：
（1）角C的大小；
（2）b=4，S_△ABC=6$\sqrt{3}$，求边长c．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得：$\sqrt{3}$sinAcosC-sinCsinA=0，即可解得tanC=$\sqrt{3}$，从而求得C的值；
（2）由面积公式可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4a×sin$\frac{π}{3}$=6$\sqrt{3}$，从而求得得a的值，由余弦定理即可求c的值．

解答 解：（1）在△ABC中，由正弦定理得：$\sqrt{3}$sinAcosC-sinCsinA=0． …（2分）
因为0＜A＜π，所以sinA＞0，
从而$\sqrt{3}$cosC=sinC，又cosC≠0，…（4分）
所以tanC=$\sqrt{3}$，所以C=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）在△ABC中，S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4a×sin$\frac{π}{3}$=6$\sqrt{3}$，得a=6，…（9分）
由余弦定理得：c²=6²+4²-2×6×4cos$\frac{π}{3}$=28，
所以c=2$\sqrt{7}$．…（12分）

点评 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．