Question

16．已知直线m：2x-y-3=0与直线n：x+y-3=0的交点为P．
（1）若直线l过点P，且点A（1，3）和点B（3，2）到直线l的距离相等，求直线l的方程；
（2）若直线l₁过点P且与x，y正半轴交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）由直线m，n联立可得交点，由直线l与A，B的距离相等可知，l∥AB或l过AB的中点．
（2）方法一：由题可知，直线l₁的斜率k存在，且k＜0．则直线l₁的方程为y=k（x-2）+1=kx-2k+1．分别求出直线的截距，即可得出．
方法二：由题可知，直线l₁的横、纵截距a、b存在，且a＞0、b＞0，则${l_1}：\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，又l₁过点（2，1），△ABO的面积为4，可得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1}\\{\frac{1}{2}ab=4}\end{array}}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y-3=0}\\{x+y-3=0}\end{array}}\right.⇒m，n$的交点为（2，1），
由直线l与A，B的距离相等可知，l∥AB或l过AB的中点，
∴由l∥AB得l的方程为$y-1=-\frac{1}{2}（x-2）$，即x+2y-4=0，
由l过AB的中点得l的方程为x=2，
故x+2y-4=0或x=2为所求．
（2）方法一：由题可知，直线l₁的斜率k存在，且k＜0．
则直线l₁的方程为y=k（x-2）+1=kx-2k+1．
令x=0，得y=1-2k＞0，
令y=0，得$x=\frac{2k-1}{k}＞0$，
∴${S_{△ABO}}=\frac{1}{2}（1-2k）\frac{2k-1}{k}=4$，解得$k=-\frac{1}{2}$，
故l₁的方程为$y=-\frac{1}{2}（x-2）+1=-\frac{1}{2}x+2$．
方法二：由题可知，直线l₁的横、纵截距a、b存在，且a＞0、b＞0，则${l_1}：\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，又l₁过点（2，1），△ABO的面积为4，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1}\\{\frac{1}{2}ab=4}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=2}\end{array}}\right.$，故l₁方程为$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$，即$y=-\frac{1}{2}x+2$．

点评 本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、直线的截距式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．