Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的一条渐近线的斜率相等，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线sinθ•x+cosθ•y-1=0相切（θ为常数），则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．

Answer 1

分析 由题意知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的一渐近线斜率值为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，及其a²=b²+c²化为a²=4b²，又b=$\frac{1}{\sqrt{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}}$=1，即可得出．

解答 解：由题意知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的一渐近线斜率值为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，化为a²=4b²，
∵b=$\frac{1}{\sqrt{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}}$=1，
∴a²=4，b²=1．
故椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．