Question

10．在平面内有n（n∈N^*）条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n条直线把平面分成f（n）个平面区域，则f（3）=7；f（n）=$\frac{{{n^2}+n+2}}{2}$．

Answer 1

分析 先求出几个特殊的值，再分析前k条直线与第k+1条直线，把平面分成的区域之间的关系，归纳出关系式f（k+1）-f（k）=k+1，再根据数列求和求出f（n）的关系式，问题解决．

解答 解：一条直线（k=1）把平面分成了2部分，记为f（1）=2，f（2）=4，f（3）=7，…
设前k条直线把平面分成了f（k）部分，
第k+1条直线与原有的k条直线有k个交点，这k个交点将第k+1条直线分为k+1段，
这k+1段将平面上原来的f（k）部分的每一部分分成了2个部分，共2（k+1）部分，相当于增加了k+1个部分，
∴第k+1条直线将平面分成了f（k+1）部分，
则f（k+1）-f（k）=k+1，令k=1，2，3，…．n得
f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=3，…，f（n）-f（n-1）=n，
把这n-1个等式累加，得 f（n）=2+$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$=2+$\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$=$\frac{{{n^2}+n+2}}{2}$．
故答案为：7，$\frac{{{n^2}+n+2}}{2}$．

点评 本题主要考查了归纳推理，以及数列递推式，属于中档题．所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．考查学生的推理能力．