Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，记f（x）=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，则f（x）的最小值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据向量数量积的应用，结合三角函数的单调性进行求解即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），
∴|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=1，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$）•（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）
=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$=cos（$\frac{3x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=cos2x，
∵f（x）=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，
∴f²（x）=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1+1+2cos2x=2+2cos2x，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，
∴当2x=$\frac{π}{2}$时，2+2cos2x取得最小值2+0=2，
即f（x）=$\sqrt{2+2cos2x}$的最小值为$\sqrt{2}$，
故选：C

点评 本题主要考查函数最值的求解，利用向量数量积的应用是解决本题的关键．