Question

在平面直角坐标系xoy中，以点P为圆心的圆与圆x²+y²-2y=0外切且与x轴相切(两切点不重合)．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若直线mx一y+2m+5=0(m∈R)与点P的轨迹交于A、B两点，问：当m变化时，以线段AB为直径的圆是否会经过定点?若会，求出此定点；若不会，说明理由．

Answer 1

（1）（＞）；（2）会定点为.

试题分析：本题主要考查两圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等数学知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，由于以点p为圆心的圆与x轴相切，通过数形结合得且，解出x与y的关系，即所求的P点的轨迹方程；第二问，直线与抛物线方程联立，消参得到关于x的方程，得到，，先写出以线段AB为直径的圆的方程，将，代入后，得到关于m的方程，由于m∈R，所以得到，解出唯一解，所以圆过定点（2,1）.
试题解析：⑴设，由题意知且，得
故所求点的轨迹方程为（＞）              5分
⑵设、，将代入得
∴                            7分
而以线段为直径的圆的方程为，
即    ，
得 ，      10分
整理成关于的方程  
由于以上关于的方程有无数解，故，
由以上方程构成的方程组有唯一解.
由此可知，以线段为直径的圆必经过定点.                 13分