Question

13．若圆C₁：x²+y²=m与圆C₂：x²+y²-6x-8y+16=0相外切．
（1）求m的值；
（2）若圆C₁与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点且在圆C₁上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．

Answer 1

分析 （1）利用圆C₁：x²+y²=m与圆C₂：x²+y²-6x-8y+16=0相外切，求m的值；
（2）设P（x₀，y₀），求出四边形ABNM的面积，P点在圆C₁上，有x₀²+y₀²=4，即可证明结论．

解答 解：（1）圆C₁的圆心坐标（0，0），半径为$\sqrt{m}$，
圆C₂的圆心坐标（3，4），半径为3，
又两圆外切得$\sqrt{m}$+3=5，∴m=4．
（2）证明：点A坐标为（2，0），点B坐标为（0，2），
设P点坐标为（x₀，y₀），
由题意得点M的坐标为（0，$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$）；点N的坐标为（$\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$，0），
四边形ABNM的面积S=$\frac{1}{2}$（2-$\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$）（2-$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$）=$\frac{1}{2}•\frac{（4-2{y}_{0}-2{x}_{0}）^{2}}{（2-{y}_{0}）（2-{x}_{0}）}$，
由P点在圆C₁上，有x₀²+y₀²=4，
∴四边形ABNM的面积S=4，
即四边形ABNM的面积为定值4．

点评 本题考查圆的标准方程，考查了圆与圆的位置关系，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．