Question

18．已知定义在R上的函数f（x），满足对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＜0．且f（3）=-4．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）判断并证明函数f（x）在R上的奇偶性；
（Ⅲ）在区间[-9，9]上，求f（x）的最值．

Answer 1

分析 （I）令x=y=0，可得f（0）=0．
（II）令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），即可得出奇偶性．
（III）任取实数x₁、x₂∈[-9，9]且x₁＜x₂，可得f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=-f（x₂-x₁），
利用x＞0时，f（x）＜0，即可得出单调性，进而得出最值．

解答 解：（I）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．
（II）令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
即对于定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（III）任取实数x₁、x₂∈[-9，9]且x₁＜x₂，这时，x₂-x₁＞0，
f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-f（x₁）=-f（x₂-x₁），
∵x＞0时f（x）＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在[-9，9]上是减函数．
故f（x）的最大值为f（-9），最小值为f（9）．
而f（9）=f（3+3+3）=3f（3）=-12，f（-9）=-f（9）=12．
∴f（x）在区间[-9，9]上的最大值为12，最小值为-12．

点评 本题考查了抽象函数的单调性与奇偶性、求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．