Question

已知，函数，（其中为自然对数的底数）．
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当时，函数在区间上无最小值；
当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为．
（2） 不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直

 （1）解：∵，∴．
令，得．
①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．
②若，当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最小值．
③若，则，函数在区间上单调递减，
所以当时，函数取得最小值．
综上可知，当时，函数在区间上无最小值；
当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为．
（2）解：∵，，
∴
．
由（1）可知，当时，．
此时在区间上的最小值为，即．
当，，，
∴．
曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．
而，即方程无实数解．
故不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直．