Question

已知函数，且）．
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若，方程f (x) ="2" a x有惟一解时，求的值。

Answer 1

（1）当k是奇数时,f(x)在(0,+)上是增函数 ；当k是偶数时,f(x)在是减函数,在是增函数  （2） 

(1)由已知得，x＞0且．
当k是奇数时,则,则f(x)在(0,+)上是增函数; ……（2分）
当k是偶数时,则,,　 ……（3分）
所以当x时,, 当x时,，
故当k是偶数时,f(x)在是减函数,在是增函数．……（5分）
（Ⅱ）若，则）
记g (x) = f (x) – 2ax = x² – 2 a xlnx – 2ax,
,
若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；……（6分）
令,得，
（舍去）……（7分）
当时，,在是单调递减函数；
当时，,在上是单调递增函数。
当x=x₂时, ,   …………（8分）
有唯一解， 
则，即 ………（9分）
   …………（10分）
设函数，
∵在x>0时, h (x)是增函数，∴h (x) = 0至多有一解。
∵h (1) =" 0," ∴方程(*)的解为x₂ = 1，即，解得。…………（12分）