Question

19．已知函数f（x）=axlnx+b在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，g（x）=λ（x-1）（其中λ为常数）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）当x＞1时，求证：[f（x-1）-（x-3）][f（e^x）-3（e^x-3）]≥9-e²（其中e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析 （1）利用切线的斜率得到f'（1）=1，求出a=1；通过切点坐标求解b，然后求解函数的解析式．
（2）对任意x∈[1，+∞），不等式xlnx≥λ（x-1）恒成立；转化为对任意x∈[1，+∞），不等式$lnx≥λ（1-\frac{1}{x}）$恒成立；令$h（x）=lnx-λ（1-\frac{1}{x}）（x≥1）$，通过求解函数的导数，若λ≤1，若λ＞1，求解函数的单调区间，推出结果．
（3）令p（x）=f（x-1）-（x-3）=（x-1）ln（x-1）-x+3，求出导函数判断函数的单调性，求出函数的最值，即可得到结论．

解答 （本小题满分16分）
解：（1）f'（x）=a（lnx+1）Z，f'（1）=1，得a=1；又由f（1）=0，得b=0，
所以f（x）=xlnx．（3分）
（2）对任意x∈[1，+∞），不等式xlnx≥λ（x-1）恒成立；
等价于对任意x∈[1，+∞），不等式$lnx≥λ（1-\frac{1}{x}）$恒成立；
令$h（x）=lnx-λ（1-\frac{1}{x}）（x≥1）$，则有h（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立；$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{λ}{x^2}=\frac{x-λ}{x^2}$；
若λ≤1，当x≥1时，h'（x）≥0，所以h（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以，当x≥1时，h（x）≥h（1）=0；
若λ＞1，当1≤x＜λ时，h'（x）＜0，当x＞λ时，h'（x）＞0，
所以h（x）在[1，λ）上单调递减，在（λ，+∞）上单调递增，
所以当1＜x＜λ时，h（x）＜h（1）=0，与题意矛盾；
综上，实数λ的取值范围为（-∞，1]．（9分）
（3）令p（x）=f（x-1）-（x-3）=（x-1）ln（x-1）-x+3，p'（x）=ln（x-1）；令p'（x）＞0，解得x＞2；
令p'（x）＜0，解得1＜x＜2；∴p（x）在（1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增；
故当x=2时，p（x）取得最小值p（2）=1＞0；q（x）=f（e^x）-3（e^x-3）=xe^x-3e^x+9，q'（x）=（x-2）•e^x，令q'（x）＜0，解得1＜x＜2；令q'（x）＞0，解得x＞2；
所以q（x）在（1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增；
故当x=2时，f（x）取得最小值q（2）=9-e²＞0；
所以，当x＞1时，$p（x）q（x）≥{p_{min}}（x）{q_{min}}（x）=p（2）q（2）=9-{e^2}$，
即[f（x-1）-（x-3）][f（e^x）-3（e^x-3）]≥9-e²，
当且仅当x=2时，等号成立．（16分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，转化思想的应用考查分类讨论思想的应用，是难题．