Question

11．已知直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为$ρ=4sin（θ-\frac{π}{6}）$．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点为P（x，y）为直线l与圆C所截得的弦上的动点，求$\sqrt{3}x+y$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把圆C的极坐标方程转化为${ρ^2}=4ρ（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$，由此能求出圆C的普通方程．
（Ⅱ）求出圆C的圆心是$（-1，\sqrt{3}）$，半径是2，将$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$代入$\sqrt{3}x+y$得$\sqrt{3}x+y=-t$，由此能求出$\sqrt{3}x+y$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为圆C的极坐标方程为$ρ=4sin（θ-\frac{π}{6}）$，
所以${ρ^2}=4ρ（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$，
所以圆C的普通方程${x^2}+{y^2}+2x-2\sqrt{3}y=0$．…（4分）
（Ⅱ）由圆C的方程${x^2}+{y^2}+2x-2\sqrt{3}y=0$，可得${（x+1）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=4$，
所以圆C的圆心是$（-1，\sqrt{3}）$，半径是2，
将$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$代入$\sqrt{3}x+y$得$\sqrt{3}x+y=-t$，
又直线l过$C（-1，\sqrt{3}）$，圆C的半径是2，所以-2≤t≤2，
即$\sqrt{3}x+y$的取值范围是[-2，2]．     …（10分）

点评 本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查代数式的取值范围的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．