Question

10．在直角坐标系x0y中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为$ρ=\frac{sinθ}{{1-{{sin}^2}θ}}$．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点P（0，2）作斜率为1的直线l与曲线C交于A，B两点，
①求线段AB的长；  
②$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为$ρ=\frac{sinθ}{{1-{{sin}^2}θ}}$．化为ρ²（1-sin²θ）=ρsinθ，即ρ²cos²θ=ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）①由题意可得直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．代入抛物线方程可得：t²-$\sqrt{2}$t-4=0，利用根与系数的关系可得|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$．
②$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为$ρ=\frac{sinθ}{{1-{{sin}^2}θ}}$．化为ρ²（1-sin²θ）=ρsinθ，即ρ²cos²θ=ρsinθ，
利用互化公式可得直角坐标方程：y=x²．
（2）①由题意可得直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
代入抛物线方程可得：t²-$\sqrt{2}$t-4=0，
∴t₁+t₂=$\sqrt{2}$，t₁•t₂=-4，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-4×（-4）}$=$3\sqrt{2}$．
②$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．