题目内容
已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（x+y）=f（x）+2y（x+y），且f（1）=1，求f（x）．
考点：抽象函数及其应用
专题：计算题,函数的性质及应用
分析：令y=1，得到f（x）=f（x-1）+2x，再由f（x）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]+…+[f（x）-f（x-1）]，即可求出f（x）的表达式．
解答：
解：令y=1，则
f（x+1）=f（x）+2（x+1）即f（x）=f（x-1）+2x
∴f（x）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]+…+[f（x）-f（x-1）]
=1+2×2+2×3+…+2x
=1+2×
（2+x）（x-1）
=x2+x-1
∴f（x）=x2+x-1．
f（x+1）=f（x）+2（x+1）即f（x）=f（x-1）+2x
∴f（x）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]+…+[f（x）-f（x-1）]
=1+2×2+2×3+…+2x
=1+2×
| 1 |
| 2 |
=x2+x-1
∴f（x）=x2+x-1．
点评：本题考查抽象函数的解析式的求法：累加法，考查运用等差数列的求和公式，是一道基础题．
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