Question

15．某电子广告牌连续播出四个广告，假设每个广告所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计，以往播出100次所需的时间（t）的情况如下：

类别	1号广告	2号广告	3号广告	4号广告
广告次数	20	30	40	10
时间t（分钟/人）	2	3	4	6

每次随机播出，若将频率视为概率．
（Ⅰ）求恰好在第6分钟后开始播出第3号广告的概率；
（Ⅱ）用X表示至第4分钟末已完整播出广告的次数，求x的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）恰好在第6分钟后开始播出第3号广告包含四种情况：①1号广告连播3次，然后播第3号广告；②2号广告连播2次，然后播第3号广告；③1号广告和3号广告播完后，播第3号广告；④4号广告播完后，播第3号广告．由此能求出恰好在第6分钟后开始播出第3号广告的概率．
（II）由已知得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设事件A表示“播1号广告”，事件B表示“播2号广告”，事件C表示“播3号广告”，事件D表示“播4号广告”，
由条件知P（A）=$\frac{20}{100}$=$\frac{2}{10}$，P（B）=$\frac{300}{100}=\frac{3}{10}$，P（C）=$\frac{40}{100}$=$\frac{4}{10}$，P（B）=$\frac{10}{100}$=$\frac{1}{10}$，
恰好在第6分钟后开始播出第3号广告包含四种情况：
①1号广告连播3次，然后播第3号广告；②2号广告连播2次，然后播第3号广告；
③1号广告和3号广告播完后，播第3号广告；④4号广告播完后，播第3号广告，
∴恰好在第6分钟后开始播出第3号广告的概率：
p=$（\frac{2}{10}）^{3}$×$\frac{4}{10}$+$（\frac{3}{10}）^{2}×\frac{4}{10}$+${C}_{2}^{1}×\frac{2}{10}×\frac{4}{10}×\frac{4}{10}$+$\frac{1}{10}×\frac{4}{10}$=$\frac{179}{1250}$．
（II）由已知得X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{1}{10}$，
P（X=1）=$\frac{4}{10}+{C}_{2}^{1}•\frac{2}{10}•\frac{3}{10}$+$\frac{2}{10}•\frac{4}{10}$+$\frac{3}{10}•\frac{4}{10}$+$\frac{2}{10}•\frac{1}{10}+\frac{3}{10}•\frac{1}{10}$+$\frac{3}{10}•\frac{3}{10}$=$\frac{86}{100}$，
P（X=2）=$\frac{2}{10}•\frac{2}{10}$=$\frac{4}{100}$，

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{86}{100}$	$\frac{4}{100}$

EX=$0×\frac{1}{10}+1×\frac{86}{100}+2×\frac{4}{100}$=0.94．

点评 本题考查概率的求法，考查离散随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．