已知实数a＞0.设p:函数y=ax在上递减,q:$?x∈R.a＞sinx-\frac{1}{2}$．如果“p∨q 为真.“p∨q 为假.求a的取值范围．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

10．已知实数a＞0，设p：函数y=a^x在（-∞，+∞）上递减；q：$?x∈R，a＞sinx-\frac{1}{2}$．如果“p∨q”为真，“p∨q”为假，求a的取值范围．

分析对于命题p：利用指数函数的单调性可得：0＜a＜1．又命题q：利用三角函数的值域可得a＞1-$\frac{1}{2}$．又“p∨q”为真，“p∨q”为假，于是命题p，q中一真一假．

解答解：对于命题p：函数y=a^x在（-∞，+∞）上递减，∴0＜a＜1．
又命题q：$?x∈R，a＞sinx-\frac{1}{2}$．∴a＞1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，即a$＞\frac{1}{2}$．
又“p∨q”为真，“p∨q”为假，
则命题p，q中一真一假．
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ 0＜a≤\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得$0＜a≤\frac{1}{2}$；
若q真p假，则$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：a≥1．
综上，a的取值范围是$（0，\frac{1}{2}]$∪[，1+∞）．

点评本题考查了复合命题真假的判定方法、指数函数的单调性、三角函数的值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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$\sqrt{6}$f（$\frac{π}{6}$）$＜\sqrt{2}$f（$\frac{2π}{3}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）

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