Question

14．已知椭圆C过点P（2，2$\sqrt{2}$），且与椭圆$\frac{{x}^{2}}{40}$+$\frac{{y}^{2}}{13}$=1有相同的焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C上存在A、B两点关于直线l：y=x+m对称，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{40}$+$\frac{{y}^{2}}{13}$=1，可得焦点$（±3\sqrt{3}，0）$．设椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{8}{{b}^{2}}=1}\\{c=3\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可；
（2）设直线AB的方程为：y=-x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀）．直线方程与椭圆方程联立化为：25x²-34tx+17t²-408=0．
△＞0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得$\frac{8t}{25}$=$\frac{17t}{25}$+m，代入△＞0，解出即可得出．

解答 解：（1）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{40}$+$\frac{{y}^{2}}{13}$=1，可得c=$\sqrt{40-13}$=3$\sqrt{3}$，可得焦点$（±3\sqrt{3}，0）$．
设椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{8}{{b}^{2}}=1}\\{c=3\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=51，b²=24．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{51}+\frac{{y}^{2}}{24}$=1．
（2）设直线AB的方程为：y=-x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{51}+\frac{{y}^{2}}{24}=1}\end{array}\right.$，化为：25x²-34tx+17t²-408=0．
∴△=34²t²-100（17t²-408）＞0，化为：t²＜75．
∴x₁+x₂=$\frac{34t}{25}$，x₁x₂=$\frac{17{t}^{2}-408}{25}$．
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{17t}{25}$，y₀=-x₀+t=$\frac{8t}{25}$．
∴$\frac{8t}{25}$=$\frac{17t}{25}$+m，
解得t=$-\frac{25m}{9}$，代入t²＜75．
可得$-\frac{3\sqrt{3}}{5}＜m＜\frac{3\sqrt{3}}{5}$．
∴实数m的取值范围是$-\frac{3\sqrt{3}}{5}＜m＜\frac{3\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交中点问题、一元二次方程的根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．