Question

如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE∥DF，∠DEF=90°．
（Ⅰ）求证：BE∥平面ADF；
（Ⅱ）若矩形ABCD的一个边AB=

3

，EF=2

3

，则另一边BC的长为何值时，二面角B-EF-D的大小为45°？

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明：以直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE∥平面ADF．
（Ⅱ）求出平面BEF的一个法向量和平面DEF的一个法向量，利用向量法能求出另一边BC的长为

1

2

时，二面角B-EF-D的大小为45°．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：以直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DF为z轴，
建立空间直角坐标系．则平面ADF的一个法向量为

n

=（0，1，0）．
设AB=a，BC=b，CE=c，
则点B、E的坐标分别为（b，a，0）和（0，a，c），
那么向量

BE

=（-b，0，c），由

n

•

BE

=0，得

n

⊥

BE

，
而直线BE在平面ADF的外面，所以BE∥平面ADF．
（Ⅱ）解：由EF=2

3

，EM=AB=

3

，得FM=3且∠MFE=30°．
由∠DEF=90°，得FD=4，从而得CE=1．（8分）
设BC=a，则点B的坐标为（a，

3

，0）．
又点E、F的坐标分别为（0，

3

，1）和（0，0，4），
所以

EB

=(a，0，-1)，

EF

=（0，-

3

，3）．
设平面BEF的一个法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁），
则

ax1-z1=0 - 3 y1+3z1=0

，解得一组解为（1，

3

a，a），所以

n1

=（1，

3

a，a）．（10分）
由题意知平面DEF的一个法向量为

n2

=（1，0，0），
得cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

4a2+1

，
由于此时＜

n1

，

n2

＞就是二面角B-EF-D的大小，
所以

1

4a2+1

=

1

2

，解得a=

1

2

．
所以另一边BC的长为

1

2

时，二面角B-EF-D的大小为45°．（12分）

点评：本题考查直线与平在面平行的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．