Question

已知函数f（x）=x²（ax+b）（a，b∈R）在x=2处取得极值，且f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y=0垂直，求：
（Ⅰ）a，b的值；
（Ⅱ）函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（I）由于函数f（x）=x²（ax+b）（a，b∈R）在x=2处取得极值，可得f′（2）=0．由于f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y=0垂直，可得f′(1)×

1

3

=-1，联立解得即可．
（II）分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²+2bx．
∵函数f（x）=x²（ax+b）（a，b∈R）在x=2处取得极值，
∴f′（2）=0，即12a+4b=0，化为3a+b=0．
∵f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y=0垂直，
∴f′(1)×

1

3

=-1，
而f′（1）=3a+2b，
∴3a+2b=-3．
联立

3a+b=0 3a+2b=-3

，解得

a=1 b=-3

．
∴a=1，b=-3．
（Ⅱ）由（I）可得f（x）=x³-3x²，
f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜0；令f′（x）＜0，解得0＜x＜2．
∴函数f（x）的递增区间为（-∞，0）和（2，+∞），递减区间是（0，2）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、导数的几何意义与切线方程、互相垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．