题目内容

3．在有限数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，把$\frac{{{S_1}+{S_2}+{S_3}+…+{S_n}}}{n}$称为数列{an}的“优化和”，若数列a1，a2，a3，…，a2011的“优化和”为2012，则数列1，a1，a2，a3，…，a2011的“优化和”为2012．

分析 首先根据定义得出S1+S2+…+S2011=2011×2012，然后根据S1=a1，S2=a1+a2，…S2011=a1+a2+a3+…a2011，即可求出结果．

解答 解：∵$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}+…+{S}_{2011}}{2011}$=2012∴S1+S2+…+S2011=2011×2012，
其中S1=a1，S2=a1+a2，…S2011=a1+a2+a3+…a2011．
∴所求的优化和=[1+（1+a1）+（1+a1+a2）+…+（1+a1+…+a2010）+（1+a1+…+a2011）]÷2012=[1+（ 1+S1）+（1+S2）+…+（1+S2010）+（1+S2011）]÷2012=[2012×1+（S1+S2+…+S2011）]÷2012=[2012+2011×2012]÷2012=1+2011=2012，
故答案为：2012

点评 本题考差了数列的求和，解题的关键是正确理解新定义，属于中档题．

练习册系列答案
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