Question

如图：已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为弧AC的中点．在梯形ACDE中，DE∥AC且AC=2DE，平面ACDE⊥平面ABC．求证：
（1）直线AB⊥平面ACDE；    
（2）直线BE∥平面DOF．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）在半圆中，AB⊥AC，而平面ACDE⊥平面ABC，且交线为AC，故由两平面垂直的性质定理可知：AB⊥平面ACDE；
（2）设OF∩AC=M，连接DM，OA，由F为弧AC的中点，得M为AC的中点，所以DE∥

1

2

AC，得四边形AMDE为平行四边形，从而DM∥AE，DM∥平面ABE；由OM∥AB得，OM∥平面ABE；由两个平面平行的判定定理，可知平面OFD∥平面BAE，即可证明直线BE∥平面DOF．

解答： 证明：（1）∵BC是半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点AC
∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB
∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，AB?平面ABC
∴由两个平面垂直的性质得，AB⊥平面ACDE；
（2）如图，设OF∩AC=M，连接DM，OA
∵F为弧AC的中点，
∴M为AC的中点．
∵AC=2DE，DE∥AC
∴DE∥AM，DE=AM
∴四边形AMDE为平行四边形．
∴DM∥AE
∵DM?平面ABE，AE?平面ABE
∴DM∥平面ABE
∵O为BC中点
∴OM为三角形ABC的中位线
∴OM∥AB
∵OM?平面ABE，AB?平面ABE
∴OM∥平面ABE
∵OM?平面OFD，DM?平面OFD，OM∩DM=M
∴由两个平面平行的判定定理可知，平面OFD∥平面ABE，
∵BE?平面ABE，
∴直线BE∥平面DOF．

点评：本题主要考查了两个平面垂直的性质定理及判定定理、两个平面平行的判定定理，体现了线线、线面、面面之间关系的相互转化．