Question

19．已知函数$f（x）=lnx+\frac{a}{x}$（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x-y=0，求实数a的值；
（Ⅱ）讨论f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（Ⅲ）若存在x₀∈（1，+∞），使得f（x₀）≤a成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}$，利用函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x-y=0，列出方程求解即可．
（Ⅱ）求出$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}$，若x＞1，当a≤1时，当a＞1时，分别判断导函数的符号，推出函数的单调性即可．
（Ⅲ）通过当a≤1时，判断是否满足题意；当a＞1时，求出f（x）_min=f（a）=lna+1，得到lna+1-a≤0，设g（a）=lna+1-a，通过函数的导数利用还是的单调性，转化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}$，函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x-y=0，
∴f'（1）=1-a=2，∴a=-1．
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}$，若x＞1，当a≤1时，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增；
当a＞1时，f'（x）=0，解得x=a，1＜x＜a，f'（x）＜0；x＞a，f'（x）＞0，则f（x）在（1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
（Ⅲ）当a≤1时，f（x）＞f（1）=a，则不存在x₀∈（1，+∞），使得f（x₀）≤a成立，
当a＞1时，f（x）_min=f（a）=lna+1，
若lna+1≤a，则lna+1-a≤0，设g（a）=lna+1-a，
∴$g'（a）=\frac{1}{a}-1＜0$，则g（a）在（1，+∞）单调递减，g（a）＜g（1）=0，
∴此时存在x₀=a，使得f（x₀）≤a成立．
综上所述，a＞1．

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．