题目内容

9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+3，\frac{n}{3}∉N*}\\{{a}_{n}，\frac{n}{3}∈N*}\end{array}\right.$，则S3n=9n2+3n．

分析 由题意可得：a3n-1=a3n-2+3，a3n=a3n-1+3，可得a3n-2+a3n-1+a3n=3a3n-2+9．a3n+1=a3n=a3n-1+3=a3n-2+6，又a1=1，可得：a3n-2=1+6（n-1）=6n-5．分组求和即可得出．

解答 解：由题意可得：a3n-1=a3n-2+3，a3n=a3n-1+3，可得a3n-2+a3n-1+a3n=3a3n-2+9．
a3n+1=a3n=a3n-1+3=a3n-2+6，又a1=1，
∴a3n-2=1+6（n-1）=6n-5．
∴S3n=（a1+a2+a3）+…+（a3n-2+a3n-1+a3n）
=3（a1+a4+…+a3n-2）+9n
=3×$\frac{n（1+6n-5）}{2}$+9n
=9n2+3n．
故答案为：9n2+3n．

点评 本题考查了数列递推关系、分组求和、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

练习册系列答案
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19．已知函数$f（x）=lnx+\frac{a}{x}$（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x-y=0，求实数a的值；
（Ⅱ）讨论f（x）在（1，+∞）上的单调性；
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20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2，-3），$\overrightarrow{b}$=（-3，x）且存在实数λ使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{b}$，那么|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
17．设复数z=1-$\sqrt{3}$i（i是虚数单位），则$\frac{2}{z•\overline{z}}$+$\frac{i}{1-i}$=（　　）
A．$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$iB．$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$iC．$\frac{1}{2}$iD．-$\frac{1}{2}$i
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14．设x∈R，则“x＜4”是“x2-2x-8＜0”的（　　）
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{4}x|，0＜x≤4}\\{-x+5，x＞4}\end{array}\right.$若关于x的方程f（x）-m=0有三个不相等的实数解x1，x2，x3，则x1•x2•x3的取值范围是（4，5）．
18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x|，x≤1}\\{-lnx，x＞1}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x）-ax=0恰有1个实数根，则实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{e}$）∪[1，+∞）．
7．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有$\frac{x}{2}$f′（x）+f（-x）≤0，若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1-2x）的解集为（　　）
A．（$\frac{1}{3}$，1）B．（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）C．（$\frac{1}{3}$，+∞）D．（-∞，$\frac{1}{3}$）

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