Question

2．已知焦点均在x轴上的双曲线C₁，与双曲线C₂的渐近线方程分别为y=土k₁x 与y=±k₂x，记双曲线C₁的离心率e₁，双曲线C₂的离心率e₂，若k₁k₂=1，则e₁e₂的最小值为2．

Answer 1

分析 由题意设出两双曲线方程，求得e₁，e₂，然后利用基本不等式求得e₁e₂的最小值．

解答 解：由题意可设C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），C₂：$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
则${e}_{1}=\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$，${e}_{2}=\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{b}$，
∴${e}_{1}{e}_{2}=\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}•\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{ab}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$$≥\frac{2ab}{ab}=2$．（当且仅当a=b时等号成立）．
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的简单性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．