Question

20．某课题主题研究“中学生数学成绩与物理成绩的关系”，现对高二年级800名学生上学期期末考试的数学和物理成绩按“优秀”和“不优秀”分类：数学和物理成绩都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理成绩不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学成绩不优秀的有100人．
（Ⅰ）请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？
（Ⅱ）若将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地依次随机抽取4名学生的成绩，记抽取的4名学生中数学、物理两科成绩恰有一科“优秀”的人数为X，求X的数学期望E（X），
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.010	0.005	0.001
k0	6.635	7.879	10.828

2×2列联表：

	数学优秀	数学不优秀	总计
物理优秀
物理不优秀
总计

Answer 1

分析 （1）由题意得列联表，可计算K²≈16.667＞10.828，可得结论；
（2）可得数学、物理两科成绩恰有一科“优秀”的概率为0.3，由题意可知X～B（4，0.3），可得期望．

解答 解：（1）由题意可得列联表：

	物理优秀	物理不优秀	总计
数学优秀	60	140	160
数学不优秀	100	500	640
总计	200	600	800

因为K²=$\frac{800（60×500-140×100）^{2}}{160×640×200×600}$≈16.667＞10.828．           
所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关；
（2）每次抽取1名学生成绩，其中数学、物理两科成绩恰有一科“优秀”的频率$\frac{240}{800}$=0.3．
将频率视为概率，即每次抽取1名学生成绩，其中数学、物理两科成绩恰有一科“优秀”的概率为0.3．
由题意可知X～B（4，0.3），
从而E（X）=np=1.2．

点评 本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及独立性检验，属中档题．