Question

19．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=4，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 利用递推关系可得a_n+1-a_n=a_n+2×3^n-1，变形为${a}_{n+1}-2×{3}^{n}$=2$（{a}_{n}-2×{3}^{n-1}）$，然后利用等比数列的通项公式可得a_n的通项公式．

解答 解：∵a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*，
∴当n≥2时，a_n=S_n-1+3^n-1，
a_n+1=2a_n+2×3^n-1，
变形为${a}_{n+1}-2×{3}^{n}$=2$（{a}_{n}-2×{3}^{n-1}）$，
a₂=a₁+3=7，
a₂-6=1，
∴数列$\{{a}_{n}-2×{3}^{n-1}\}$从第二项开始是等比数列，公比为2．
a_n=2•3^n-1+2^n-2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{2×{3}^{n-1}+{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．