题目内容
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，⊙M的同心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，过原点作倾斜角为| π |
| 3 |
（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的相线l1、l2，设l1与抛物线C相交于点P、Q，l2与抛物线C相交于点G、H，求
| PG |
| HQ |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）准线l交y轴于N（-
，0），由已知条件推导出p=2，OM=OB=2由此能求出⊙M的方程和抛物线的方程．
（Ⅱ）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，由y2=4x，得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，由
•
=（
+
）•（
+
），利用均值定理得当且仅当k2=
时，
•
取最小值16．
| P |
| 2 |
（Ⅱ）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，由y2=4x，得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，由
| PG |
| HQ |
| PF |
| FG |
| HF |
| FQ |
| 1 |
| k2 |
| PG |
| HQ |
解答：
解：（Ⅰ）准线l交y轴于N（-
，0），在Rt△OAN中，
∠OAN=
，∴|ON|=
=1，∴p=2，
抛物线方程是y2=4x，
在△OMB中，OM=OB，∠MOB=
，
∴OM=OB=2，
∴⊙M的方程是（x-2）2+y2=4．
（Ⅱ）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，
由y2=4x，得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，
∴x1+x2=2+
，x1x2=1，
∵l1⊥l2，∴l2的斜率为-
，
设G（x3，y3），H（x4，y4），则同理得x3+x4=2+4k2，x3•x4=1，
∴
•
=（
+
）•（
+
）
=
•
+
•
+
•
+
•
=|
|•|
|+|
|•|
|
=（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）
=x1x2+（x1+x2）+1+x2x4+（x3+x4）+1
=1+2+
+1+1+(2+4k2)+1
=8+4（
+k2）≥8+4×2=16．
当且仅当k2=
时，即k=±1时，
•
取最小值16．
| P |
| 2 |
∠OAN=
| π |
| 3 |
| |OA| |
| 2 |
抛物线方程是y2=4x，
在△OMB中，OM=OB，∠MOB=
| π |
| 3 |
∴OM=OB=2，
∴⊙M的方程是（x-2）2+y2=4．
（Ⅱ）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，
由y2=4x，得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，
∴x1+x2=2+
| 4 |
| k2 |
∵l1⊥l2，∴l2的斜率为-
| 1 |
| k |
设G（x3，y3），H（x4，y4），则同理得x3+x4=2+4k2，x3•x4=1，
∴
| PG |
| HQ |
| PF |
| FG |
| HF |
| FQ |
=
| PF |
| HF |
| PF |
| FQ |
| FG |
| HF |
| FG |
| FQ |
=|
| PF |
| FQ |
| FG |
| HF |
=（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）
=x1x2+（x1+x2）+1+x2x4+（x3+x4）+1
=1+2+
| 4 |
| k2 |
=8+4（
| 1 |
| k2 |
当且仅当k2=
| 1 |
| k2 |
| PG |
| HQ |
点评：本题考查圆的方程和抛物线方程的求法，考查向量的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
若G为三角形ABC的重心，若∠A=60°，
•
=2，则|
|的最小值是（ ）
| AB |
| AC |
| AG |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
如图，已知△ABC的边AB所在直线的方程为x-3y-7=0，点M（3，0）满足