Question

在平面直角坐标系xoy中，已知F₁，F₂分别是椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆G与抛物线y²=-8x有一个公共的焦点，且过点（-2，

2

）．
（1）求椭圆G的方程；
（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若

OA

⊥

OB

（O为坐标原点），试探讨直线l与图形|x|+|y|≤

2 6

3

的公共点的个数，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知，a²-b²=4，

4

a2

+

2

b2

=1，由此能求出椭圆G的方程．
（2）图形|x|+|y|≤

2 6

3

围成一个以（±

2 6

3

，0），（0，±

2 6

3

）为顶点的正方形区域，设直线l与椭圆的交点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OA

⊥

OB

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，由直线l的斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论，得到当直线l的斜率不存在或斜率为0时，l与图形|x|+|y|≤

2 6

3

有且只有一个公共点；当直线l的斜率存在且不为0时，l与图形|x|+|y|≤

2 6

3

没有公共点．

解答： 解：（1）由题意知，a²-b²=4，

4

a2

+

2

b2

=1，
解得 a²=8，b²=4．
∴椭圆G的方程为  

x2

8

+

y2

4

=1．…（4分）
（2）图形|x|+|y|≤

2 6

3

围成一个以（±

2 6

3

，0），（0，±

2 6

3

）为顶点的正方形区域，
设直线l与椭圆的交点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，
（i）当直线l的斜率不存在时，设直线l：x=m，则A（m，y₁），B（m，-y₁），
点A在椭圆上，

m2

8

+

y12

4

=1，

OA

⊥

OB

，m2-y12=0，
解得m2=

8

3

，此时直线l：x=

2 6

3

，和x=-

2 6

3

与图形|x|+|y|有且只有一个公共点，
分别为(

2 6

3

，0)，(-

2 6

3

，0)．…（8分）
（ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+n，
代入

x2

8

+

y2

4

=1，得（2k²+1）x²+4knx+2n²-8=0，
x1+x2=-

4kn

2k2+1

，x1•x2=

2n2-8

2k2+1

，
∴y1•y2=(kx1+n)•(kx2+n)=

n2-8k2

2k2+1

，
∵x₁•x₂+y₁•y₂=0，∴3n²=8（k²+1），①…（10分）
又∵坐标原点O（0，0）到直线l的距离为d=

|n|

k2+1

，②
由①②，得d=

|n|

k2+1

=

2 6

3

是一个定值，
∴直线l总与圆x2+y2=

8

3

相切，
而圆x2+y2=

8

3

是图形|x|+|y|≤

2 6

3

围成的正方形的外接圆，
∴当k=0，n=±

2 6

3

时，
直线l：y=

2 6

3

或l：y=-

2 6

3

与图形|x|+|y|≤

2 6

3

有且只有一个公共点，
分别为（0，

2 6

3

），（0，-

2 6

3

），
当k≠0时，直线l：y=kx+n与图形|x|+|y|≤

2 6

3

没有公共点，
综上所述，当直线l的斜率不存在或斜率为0时，
l与图形|x|+|y|≤

2 6

3

有且只有一个公共点；
当直线l的斜率存在且不为0时，l与图形|x|+|y|≤

2 6

3

没有公共点．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与图形的公共点的个点的探究，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．