题目内容
如图，已知△ABC的边AB所在直线的方程为x-3y-7=0，点M（3，0）满足| BM |
| MC |
| AT |
| AB |
（Ⅰ）求AC所在直线的方程；
（Ⅱ）求
| AM |
| BC |
考点：直线的一般式方程,平面向量数量积的运算
专题：直线与圆
分析：（I）利用向量垂直与数量积的关系可得A，再利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得AC的斜率，再利用点斜式即可得出．
（II）联立
，解得A（1，-2）．设B（3y+7，y），C（x，-3x+1），由于点M（3，0）满足
=
，可得点M是线段BC的中点．利用中点坐标公式可得B，C，再利用数量积运算即可得出．
（II）联立
|
| BM |
| MC |
解答：
解：（I）点T（0，1）在边AC所在直线上，且满足
•
=0，∴
⊥
，∴A=90°．
∴kAC=-
=-
=-3．
∴直线AC的方程为：y=-3x+1．
（2）联立
，解得
，∴A（1，-2）．
设B（3y+7，y），C（x，-3x+1），
∵点M（3，0）满足
=
，
∴点M是线段BC的中点．
∴
，解得
，
∴B(
，-
)，C(
，
)．
∴
•
=（2，2）•(-
，
)=-
．
| AT |
| AB |
| AC |
| AB |
∴kAC=-
| 1 |
| kAB |
| 1 | ||
|
∴直线AC的方程为：y=-3x+1．
（2）联立
|
|
设B（3y+7，y），C（x，-3x+1），
∵点M（3，0）满足
| BM |
| MC |
∴点M是线段BC的中点．
∴
|
|
∴B(
| 29 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
∴
| AM |
| BC |
| 28 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 48 |
| 5 |
点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、中点坐标公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
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