Question

4．若抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，其准线经过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左焦点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$
• B． $2+\sqrt{2}$
• C． $1+\sqrt{2}$
• D． $\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 确定抛物线y²=2px（p＞0）的焦点与准线方程，利用点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，求出M的坐标，代入双曲线方程，即可求得结论．

解答 解：抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），其准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
∵准线经过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左焦点，
∴c=$\frac{p}{2}$；
∵点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，
∴M的横坐标为$\frac{p}{2}$，
代入抛物线方程，可得M的纵坐标为±p，
将M的坐标代入双曲线方程，可得$\frac{\frac{{p}^{2}}{4}}{{a}^{2}}$-$\frac{{p}^{2}}{{b}^{2}}$=1，∴a=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$p，
∴e=$\frac{c}{a}$=1+$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的几何性质，考查曲线的交点，考查双曲线的几何性质，确定M的坐标是关键．