Question

9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量$\vec m=（sinA，a），\vec n=（1，sinB）$
（1）当$\vec m•\vec n=2sinA$时，求b的值；
（2）当$\vec m∥\vec n$时，且$cosC=\frac{1}{2}a$，求tanA•tanB的值．

Answer 1

分析 （1）由题意得$\vec m•\vec n=sinA+asinB=2sinA$，即$\frac{a}{sinA}=\frac{1}{sinB}$，由正弦定理有：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，联立即可得解b的值．
（2）由平行条件得a=sinA•sinB，由$cosC=\frac{1}{2}a$，则可得$cosAcosB=\frac{1}{2}a$，联立即可得解．

解答 解：（1）由题意得：$\vec m•\vec n=sinA+asinB=2sinA$，…（2分）
即得$\frac{a}{sinA}=\frac{1}{sinB}$，
在三角形中由正弦定理有：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，…（4分）
由以上两式可知：b=1．…（6分）
（2）由平行条件得a=sinA•sinB，…（8分）
$cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=\frac{1}{2}a$，…（10分）
则可得到：$cosAcosB=\frac{1}{2}a$，…（12分）
∴$tanAtanB=\frac{sinAsinB}{cosAcosB}=2$．…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，平面向量数量积的坐标运算，两角和的余弦函数公式的综合应用，考查了计算计算能力和转化思想，属于中档题．