Question

【题目】已知矩形中，，E，F分别为，的中点.沿将矩形折起，使，如图所示.设P、Q分别为线段，的中点，连接.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

(1) 取中点R，连接，,可知中,且,由Q是中点,可得则有且,即四边形是平行四边形,则有,即证得平面.

(2) 建立空间直角坐标系,求得半平面的法向量: ,然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值.

（1）取中点R，连接，，

则在中，，且，

又Q是中点，所以，

而且，所以，

所以四边形是平行四边形，

所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）在平面内作交于点G，以E为原点，，，分别为x，y，x轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则各点坐标为，，，

所以，，

设平面的一个法向量为，

则即，

取，得，

又平面的一个法向量为，

所以.

因此，二面角的余弦值为