Question

【题目】坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上

（Ⅰ）求的值和直线的直角坐标方程及的参数方程；

（Ⅱ）已知曲线的参数方程为，（为参数），直线与交于两点，求的值

Answer 1

【答案】（Ⅰ），的直角坐标方程为，的参数方程为：（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）将点的极坐标方程代入直线的极坐标方程可求出的值，然后将直线方程化为普通方程，确定直线的倾斜角，即可将直线的方程表示为参数方程的形式；

（Ⅱ）将曲线的参数方程表示普通方程，然后将（Ⅰ）中直线的参数方程与曲线的普通方程联立，得到关于的一元二次方程，并列出韦达定理，根据的几何意义计算出

和，于是可得出

的值。

解：（Ⅰ）因为点，所以；

由得

于是的直角坐标方程为；

的参数方程为： （t为参数）

（Ⅱ）由： ，

将的参数方程代入得

，设该方程的两根为，由直线的参数的几何意义及曲线知，

，

所以。