题目内容
【题目】如图，正三棱柱
的所有棱长都为
，
是
的中点，
在
边上，
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）若
是侧面
内的动点，且
平面
.
①在答题卡中作出点的轨迹，并说明轨迹的形状（不需要说明理由）；
②求三棱锥
的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）①详见解析②
【解析】
（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，根据条件可证明以
平面
；
（2）①要总有
平面
，即作出过点
的平面，使其与平面平行；
②根据①的面面平行可转化为
，再利用等体积转化求解.
解：（1）在正三棱柱
中，因为
平面
，
平面，
所以
在等边
中，
是
的中点，所以
.
又
，所以平面.
又平面，所以平面
平面.
（2）①取
的中点
，
的中点
，连接
，则点
的轨迹就是线段.
②因为平面，所以
.……
由（1）得平面
，
又因为
，
所以
.
故三棱锥
的体积为.
练习册系列答案
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【题目】追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表：
AQI |
|
|
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|
|
|
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 重度污染 |
天数 | 6 | 14 | 18 | 27 | 25 | 10 |
（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为
，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为
.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.
（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；
（ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.
