Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-（

1

2

a-1）x²+3（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）函数f（x）在[0，a]上的最大值为g（a），
①求g（a）的值；
②若过点（m，

25

3

）可作出y=g（x）的三条切线，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求f′（x）=x²-（a-2）x，令f′（x）=0便得到x=0，或a-2，所以讨论a和2的关系，即判断a-2和0的关系：分a＞2，a=2，a＜2三种情况，判断每种情况下的f′（x）的符号，从而判断f（x）的单调性；
（2）①对应（1）中的三种情况：a＞2，a=2，a＜2，判断在每种情况下f（x）在[0，a]上的单调性，根据单调性求函数f（x）在[0，a]上的最大值g（a），并求得g（a）=

- 1 6 a3+a2+3 a＜6 3 a≥6

；
②要作y=g（x）的三条切线，则g（x）图象应是曲线，所以y=g（x）=-

1

6

x3+x2+3，x＜6，求g′（x），设切点为(x0，-

1

6

x03+x02+3)，求出切线斜率，所以求得切线方程为：y-(-

1

6

x03+x02+3)=(-

1

2

x02+2x0)(x-x0)，切线过点（m，

25

3

），将该点带入切线方程并整理得：

1

3

x03-(

m

2

+1)x02+2mx0-

16

3

=0，则这个关于x₀的方程有三个不同的实数根，设h（x）=

1

3

x3-(

m

2

+1)x2+2mx-

16

3

，则该函数有三个零点，这需要h（x）的极小值小于0，极大值大于0，所以用m表示出f（x）的极值，并解关于m的不等式即可求得m的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=x²-（a-2）x，令f′（x）=0得，x=0，或a-2；
若a＞2，a-2＞0，∴x＜0，或x＞a-2时，f′（x）＞0；0＜x＜a-2时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（-∞，0），（a-2，+∞）上单调递增，在[0，a-2]上单调递减；
若a=2，a-2=0，∴f′（x）≥0，∴函数f（x）在R上单调递增；
若a＜2，a-2＜0，∴x＜a-2，或x＞0时，f′（x）＞0；a-2＜x＜0时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（-∞，a-2），（0，+∞）上单调递增，在（a-2，0）单调递减；
（2）①由（1）知，1）当a＞2时，f（x）在[0，a-2]单调递减，在（a-2，a]单调递增；
∴对于此时的f（x）的最大值比较f（0），f（a）即可；
f（a）-f（0）=-

1

6

a3+a2=a2(1-

a

6

)；
∴a≥6时，f（a）＜f（0），∴g（a）=f（0）=3；
2＜a＜6时，f（a）＞f（0），∴g（a）=f（a）；
2）当a=2时，f（x）在[0，a]上单调递增，∴g（a）=f（a）；
3）当a＜2时，f（x）在[0，a]上单调递增，∴g（a）=f（a）；
∴g（a）=

- 1 6 a3+a2+3 a＜6 3 a≥6

；
②根据题意，y=g（x）=-

1

6

x3+x2+3，x＜6，y′=-

x2

2

+2x，所以设过点(m，

25

3

)所作切线的切点为(x0，-

1

6

x03+x02+3)，x₀＜6，斜率为-

x02

2

+2x0；
∴切线方程为：y-(-

1

6

x03+x02+3)=(-

x02

2

+2x0)(x-x0)；
点（m，

25

3

）在切线上，所以

25

3

-(-

1

6

x03+x02+3)=(-

x02

2

+2x0)(m-x0)；
将上式整理成：

1

3

x03-(

m

2

+1)x02+2mx0-

16

3

=0，则关于x₀的方程有三个不同的实数根，且x₀＜6；
令h（x）=

1

3

x3-(

m

2

+1)x2+2mx-

16

3

，则h（x）应有三个不同的零点，h′（x）=x²-（m+2）x+2m，令h′（x）=0，则：
x=2，或m，∴h（2），h（m）中一个是极大值，一个是极小值；
1）m＜2时，h（2）是极小值，h（m）是极大值，∴

h(2)=2m- 20 3 ＜0 h(m)=- 1 6 m3+m2- 16 3 ＞0

；
解2m-

20

3

＜0得m＜

10

3

；
令μ(x)=-

1

6

x3+x2-

16

3

，μ′(x)=-

1

2

x2+2x，令u′（x）=0，得，x=0，或4；
∴u（x）在（-∞，0），（4，+∞）上单调递减，在[0，4]上单调递增；
可求得u（-2）=u（4）=0，∴x＜-2，时，u（x）＞0，x＞-2，且x≠4时，u（x）＜0；
∴h（m）＞0的解是m＜-2，∴m＜-2；
2）m＞2时，h（2）是极大值，h（m）是极小值，∴

h(2)=2m- 20 3 ＞0 h(m)＜0

；
解2m-

20

3

＞0得，m＞

10

3

；
而由上面知h（m）＜0的解是m＞-2，且m≠4，∴m＞

10

3

，且m≠4；
综上得m的取值范围是{m|m＜-2，或m＞

10

3

，且m≠4}．

点评：考查根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性求闭区间上函数最大值的方法，函数在切点处的导数与切线斜率的关系，直线的点斜式方程，以及极值的概念，函数零点的情况和函数极大值，极小值的关系．