Question

（本小题满分12分）
已知实轴长为，虚轴长为的双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，且原点、点和点）使等式成立.
（I）求双曲线的方程；
（II）若双曲线上存在两个点关于直线对称，求实数的取值范围.

Answer 1

解：（I）根据题意设双曲线的方程为 …………2分
且, 解方程组得
所求双曲线的方程为       …………6分
（II）当时，双曲线上显然不存在两个点关于直线对称；
       …………7分
当时，设又曲线上的两点M、N关于直线对称，.
设直线MN的方程为则M、N两点的坐标满足方程组
 , 消去得
显然 即
设线段MN中点为 则.
在直线………10分
即 
 
 即
的取值范围是. …………12分

略