Question

13．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD与折起，则三棱锥D-ABC的外接球的体积为$\frac{32}{3}π$．

Answer 1

分析 先利用基本不等式，确定矩形周长最小时，矩形为正方形，求得边长，再利用沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D-ABC的外接球的球心为AC的中点，求得半径，根据球的体积公式，即可求得结论．

解答 解：设矩形ABCD的边长分别为x、y，则xy=8，
矩形周长为2（x+y）≥4$\sqrt{xy}$=8$\sqrt{2}$，当且仅当x=y=2$\sqrt{2}$时，矩形周长最小，
沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D-ABC的外接球的球心为AC的中点，
∵AC=4，∴球的半径为2，
∴三棱锥D-ABC的外接球的体积等于$\frac{4}{3}$π×2³=$\frac{32}{3}π$．
故答案为：$\frac{32}{3}π$．

点评 本题考查矩形的外接球的体积的求法，解题的关键是确定矩形周长最小时，矩形为正方形，求得边长，再利用沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D-ABC的外接球的球心为AC的中点，求得半径．