Question

以下给出五个命题，其中真命题的序号为

 

①函数f（x）=3ax+1-2a在区间（-1，1）上存在一个零点，则a的取值范围是a＜-1或a＞

1

5

；
②“b²=ac”是“a，b，c成等比数列”的充分不必要条件；
③?x∈(0，  

π

2

)，  x＜tanx；
④若0＜a＜b＜1，则lna＜lnb＜a^b＜b^a．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列,三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：①，利用零点存在定理f（-1）f（1）＜0可求得a的取值范围是a＜-1或a＞

1

5

，可判断①；
②，利用充分必要条件的概念及应用可判断②；
③，作出单位圆，利用正切线的概念可判断③；
④，利用对数函数与幂函数的单调性质可判断④．

解答： 解：对于①，函数f（x）=3ax+1-2a在区间（-1，1）上存在一个零点?f（-1）f（1）＜0，
即（a+1）（1-5a）＜0，解得：a＜-1或a＞

1

5

，
所以a的取值范围是a＜-1或a＞

1

5

，①正确；
对于②，“b²=ac”是“a，b，c成等比数列”的必要不充分条件，②错误；
对于③，在单位圆中，x为

AB

，tanx=BC，

?x∈(0，  

π

2

)，  x＜tanx，故③正确；
对于④，若0＜a＜b＜1，则lna＜lnb＜a^b＜a^a＜b^a，故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题卡偏差命题的真假判断与应用，着重考查函数的零点、充分必要条件的概念，考查对数函数与幂函数的性质，考查转化思想．