Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦点为F₁，F₂，过F₁的直线垂直于x轴且与该双曲线相交于A，B两点，△ABF₂ 的内切圆经过点（0，a），则该双曲线的离心率为（　　）

• A、2
• B、3
• C、

  3

• D、

  5

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：确定内切圆圆心坐标，利用利用等面积可得几何量之间的关系，即可得出结论．

解答： 解：设内切圆圆心为（x，0），则
∵△ABF₂ 的内切圆经过点（0，a），
∴（x+c）²=x²+a²，
∴x=-

b2

2c

．
∵过F₁的直线垂直于x轴且与该双曲线相交于A，B两点，
∴A（-c，

b2

a

），
∴AF₂=

4c2+ b4 a2

，
利用等面积可得

1

2

•2c•

b2

a

=

1

2

•

4c2+ b4 a2

•（c-

b2

2c

）
化简可得e=

3

故选：C．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，难度中等．