Question

16．在△ABC中，已知AB=4，AC=6，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理即可计算求值得解．
（2）由正弦定理可求sinC的值，利用大边对大角，同角三角函数基本关系式可求cosC，结合二倍角公式即可得解．

解答 解：（1）因为：AB=4，AC=6，A=60°．
由余弦定理知，BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=28，
所以：$BC=2\sqrt{7}$．
（2）因为：由正弦定理知，$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}$，
所以：$sinC=\frac{AB}{BC}•sinA=\frac{{4sin{{60}^o}}}{{2\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
因为：AB＜BC，
所以：C为锐角，则$cosC=\sqrt{1-{{sin}^2}C}=\sqrt{1-\frac{3}{7}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
因此：$sin2C=2sinCcosC=2×\frac{{\sqrt{21}}}{7}×\frac{{2\sqrt{7}}}{7}=\frac{{4\sqrt{3}}}{7}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，利用大边对大角，同角三角函数基本关系式．二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．