Question

【题目】已知椭圆：的右焦点为，短轴长为2，过定点的直线交椭圆于不同的两点、（点在点，之间）.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，求实数的取值范围；

（3）若射线交椭圆于点（为原点），求面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3)

【解析】

(1)根据椭圆的基本量之间的关系求解即可.

(2)分直线斜率存在于不存在两种情况,当斜率存在时,联立方程利用韦达定理与从而找到韦达定理与的不等式再求解即可.

(3) 的面积为的两倍,故求得面积最值即可.

(1)因为右焦点为,故.又短轴长为2,故,解得

故椭圆的方程：

(2)当直线斜率不存在时, 直线,此时,故,此时,

当直线斜率存在时,设直线,.联立直线与椭圆

有,此时,.

.

又,即 ,故

又即,

又因为,故,即,故

有基本不等式,故计算得

,又,故

综上

(3) ,

令 ,则

故面积的最大值为