Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：对任意成立.

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析.

【解析】

（Ⅰ）先求导数得到切线斜率，再求解切线方程；

（Ⅱ）通过求解的最小值来比较大小.

（Ⅰ）因为

所以

当时，

所以，而

曲线在处的切线方程为

化简得到

（Ⅱ）法一：

因为，令

得

当时，，，在区间的变化情况如下表:

		0		0
		极大值		极小值

所以在上的最小值为中较小的值，

而，所以只需要证明

因为，所以

设，其中，所以

令，得，

当时，，，在区间的变化情况如下表:

		0
		极小值

所以在上的最小值为，而

注意到，所以，问题得证

法二：

因为“对任意的，”等价于“对任意的，”

即“，”，故只需证“，”

设，所以

设，

令，得

当时，，，在区间的变化情况如下表:

		0
		极小值

所以 上的最小值为，而

所以时，，所以在上单调递增

所以

而，所以，问题得证

法三：

“对任意的，”等价于“在上的最小值大于”

因为，令

得

当时，，，在在上的变化情况如下表:

		0		0
		极大值		极小值

所以在上的最小值为中较小的值，

而，所以只需要证明

因为，所以

注意到和，所以

设，其中

所以

当时，，所以单调递增，所以

而

所以，问题得证

法四：

因为，所以当时，

设，其中

所以

所以，，的变化情况如下表:

		0