Question

17．已知方程x²+x+k=0有两虚根α、β，且|α一β|=$\sqrt{3}$．求：
（1）实数k的值；
（2）α、β在复平面上对应的两个向量之间的夹角．

Answer 1

分析 （1）先将两个虚根设出，然后分别利用韦达定理和满足的条件即可求的实部和虚部的值进而获得方程的两虚根，再由韦达定理即可求的k的值；
（2）根据向量的夹角公式代入求出即可．

解答 解：（1）设α=x+yi（x，y∈R），则β=x-yi；△=1-4k＜0
∴k＞$\frac{1}{4}$；α+β=2x=-1，∴x=-$\frac{1}{2}$；|α-β|=2|y|=$\sqrt{3}$，∴y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
所以两根分别为-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
又αβ=k
∴k=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）（-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）=1，
（2）设α对应的向量为$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
β对应的向量为$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}•\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴夹角是120°．

点评 本题考查复数方程的解法，解答中充分体现了方程虚根的求法，韦达定理的应用．值得同学们体会反思．