Question

17．已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞30成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等差数列的性质和等比数列的通项公式求出等比数列的首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=2ⁿ$lo{g}_{\frac{1}{2}}{2}^{n}$=-n•2ⁿ，利用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和为S_n，从而得到S_n+n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2，由此能求出使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞30成立的正整数n的最小值．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，
∵a₂+a₃+a₄=28，∴2（a₃+2）+a₃=28，解得a₃=8，
∴a₂+a₄=20，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=20}\\{{a}_{1}{q}^{2}=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=32}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∵单调递增的等比数列{a_n}，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=32}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$（舍），
∴a_n=2ⁿ．
（2）∵b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=2ⁿ$lo{g}_{\frac{1}{2}}{2}^{n}$=-n•2ⁿ，
∴$-{S}_{n}=1×2+2×{2}^{2}+3×{2}^{3}+…+n×{2}^{n}$，①
-2${S}_{n}=1×{2}^{2}+2×{2}^{3}+3×{2}^{4}+…+n×{2}^{n+1}$，②
①-②，得S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n×2ⁿ⁺¹
=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n+n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2，
∵S_n+n•2ⁿ⁺¹＞30，∴2ⁿ⁺¹-2＞30，∴2ⁿ⁺¹＞32=2⁵，
∴n+1＞5，∴n＞4，
∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞30成立的正整数n的最小值为5．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的最小正整数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和错位相减求和法的合理运用．