Question

8．在空间四边形中，AB=CD，AB和CD所成角是30°，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小

Answer 1

分析 根据定义，找到两异面直线所成的角是关键，而解决立体几何问题的基本思想是将立体问题转化为平面问题，由此可选取BC或AD的中点．

解答 解：取BD的中点G，连结EG、FG，
∵E、F分别为BC、AD的中点，
∴EG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，GF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB．
∴EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角．
∵AB=CD，
∴△EFG为等腰三角形．
又AB、CD成30°角，EG、FG分别为△BCD、△DAB的中位线，
∴∠EGF=30°．
∵∠GFE就是EF与AB所成的角，
∴EF与AB成75°角或15°角．

点评 求两异面直线所成的角的一般步骤：（1）构造：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；（2）证明：证明作出的角就是要求的角．（3）计算：求角值，常利用三角形．（4）结论．也可用“一作”“二证”“三求解”来概括．