Question

12．已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，a_n+2=3a_n+1+4a_n，（n∈N^*）
（I）求证数列{a_n+1+a_n}和{a_n+1-4a_n}都是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得a_n+2+a_n+1=4（a_n+1+a_n），a_n+2-4a_n+1=-（a_n+1-4a_n），由此能证明数列{a_n+1+a_n}和{a_n+1-4a_n}都是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出a_n+1+a_n=8×4^n-1，a_n+1-4a_n=（-7）•（-1）^n-1=（-1）ⁿ•7，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 （Ⅰ）证明：∵数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，a_n+2=3a_n+1+4a_n，（n∈N^*），
∴a_n+2+a_n+1=4（a_n+1+a_n），（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+2}+{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$=4，a₂+a₁=5+3=8，
∴数列{a_n+1+a_n}是以8为首项，4为公比的等比数列；
∵数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，a_n+2=3a_n+1+4a_n，（n∈N^*），
∴a_n+2-4a_n+1=-（a_n+1-4a_n），
∴$\frac{{a}_{n+2}-4{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-4{a}_{n}}$=-1，
a₂-4a₁=5-4×3=-7，
∴{a_n+1-4a_n}是首项为-7，公比为-1的等比数列．
（Ⅱ）解：∵数列{a_n+1+a_n}是以8为首项，4为公比的等比数列，
∴a_n+1+a_n=8×4^n-1，①
∵{a_n+1-4a_n}是首项为-7，公比为-1的等比数列，
∴a_n+1-4a_n=（-7）•（-1）^n-1=（-1）ⁿ•7，②
①-②，得：5a_n=8×4^n-1-（-1）ⁿ•7=2•4ⁿ-（-1）ⁿ•7，
∴${a}_{n}=\frac{2•{4}^{n}-（-1）^{n}•7}{5}$．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．