Question

2．函数f（x）=4-$\frac{a}{{e}^{x}}$与函数y=2x有两个交点，则实数a的取值范围为（0，2）．

Answer 1

分析 设g（x）=4-$\frac{a}{{e}^{x}}$-2x，对g（x）求导，讨论g′（x）的正负以及对应g（x）的单调性，得出函数y=g（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围

解答 解：设g（x）=4-$\frac{a}{{e}^{x}}$-2x
∴g′（x）=$\frac{a}{{e}^{x}}$-2
下面分两种情况讨论：
①a≤0时，g′（x）＜0在R上恒成立，∴f（x）在R上是减函数，不合题意；
②a＞0时，由g′（x）=0，得x=ln$\frac{a}{2}$，当x变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，ln$\frac{a}{2}$）	ln$\frac{a}{2}$	（ln$\frac{a}{2}$，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	递增	极大值2-2ln$\frac{a}{2}$	递减

∴g（x）的单调增区间是（-∞，ln$\frac{a}{2}$），减区间是（ln$\frac{a}{2}$，+∞）；
∴函数g=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：
∴g（ln$\frac{a}{2}$）＞0由g（ln$\frac{a}{2}$）＞0，即2-2ln$\frac{a}{2}$＞0，
解得0＜a＜2e；
∴a的取值范围是（0，2e）．
故答案为：（0，2e）．

点评 本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与零点问题，也考查了函数思想、化归思想和分析问题、解决问题的能力．