Question

已知函数f（x）=x²+alnx+2．
（1）若f（x）在x=1处的切线与直线y=3x-1平行，求实数a的值．
（2）若f（x）在（2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，由直线平行的条件，得到a的方程，解出即可；
（2）求出导数，f（x）在（2，+∞）上单调递增，即为f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，即有-a≤2x²在（2，+∞）上恒成立．求出2x²在（2，+∞）上值域即可得到．

解答： 解：（1）函数f（x）=x²+alnx+2的导数为f′（x）=2x+

a

x

，
则f（x）在x=1处的切线斜率为2+a，
由于在x=1处的切线与直线y=3x-1平行，则2+a=3，
则a=1；
（2）由于f′（x）=2x+

a

x

，
f（x）在（2，+∞）上单调递增，
即为f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，
即有-a≤2x²在（2，+∞）上恒成立．
由于2x²在（2，+∞）上值域为（8，+∞），
则有-a≤8，即a≥-8．
故实数a的取值范围是[-8，+∞）．

点评：本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，考查导数的运用：判断单调性，属于中档题．