Question

等比数列{a_n}同时满足下列三个条件：
（1）a₁+a₆=11 （2）a3•a4=

32

9

  （3）三个数

2

3

a2， 

a

2 3

， a4+

4

9

成等差数列．
试求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由等比数列的性质知a1a6=a3a4=

32

9

，再由a₁+a₆=11，能求出a₁，a₆，由此能求出数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

解答： 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁+a₆=11，a3•a4=

32

9

，

2

3

a2， 

a

2 3

， a4+

4

9

成等差数列，
∴由等比数列的性质知a1a6=a3a4=

32

9

，
∴a₁，a₆是方程x2-11x+

32

9

=0的两个根，
解得a1=

1

3

，a₆=

32

3

或a1=

32

3

，a6=

1

3

，
当a1=

1

3

，a₆=

32

3

时，

1

3

×q5=

32

3

，
解得q=2，
∴a_n=

1

3

×2n-1，

2

3

a2+a4+

4

9

=

32

9

，2a32=

32

9

，
∴三个数

2

3

a2， 

a

2 3

， a4+

4

9

成等差数列，
故a_n=

1

3

×2n-1．
当a1=

32

3

，a₆=

1

3

时，

32

3

q5=

1

3

，解得q=

1

2

，
a_n=

32

3

×(

1

2

)n-1=

1

3

×26-n，

2

3

a2+a4+

4

9

≠2a32，∴不符合题意．
故数列{an}的通项公式为a_n=

1

3

×2n-1．
∵a1=

1

3

，q=2，
∴S_n=

1 3 ×(1-2n)

1-2

=

1

3

(2n-1)．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和方程思想的合理运用．